LOS TRANSPALÍNDROMOS NUMÉRICOS

 

ANTECEDENTES

En el último encuentro palindrómico de febrero de 1999 en casa de nuestro editor Ramon Giné, el palindromista Francesc Ferrater i Segalà me puso al corriente de algunas investigaciones suyas sobre la palindromía. Francesc había determinado una serie de palíndromos numéricos que “trascendían” a otras bases de numeración desde la decimal. Con todo ello construyó unos cuadros que se publican en este mismo número de [S].

Interesado por la idea, he proseguido su línea investigadora.

 

LOS TRANSPALÍNDROMOS

Llamaremos transpalíndromos a aquellas palabras palindrómicas que continúan siéndolo al cambiar de lengua. Son muy raras. De hecho sólo conocemos un ejemplo, sacado del campo de la onomástica:

 

Ana (español) = Hanna (inglés) = Anna (catalán)

 

Naturalmente, descartamos los casos triviales en que la palabra se conserva en las distintas lenguas: Anilina (español, catalán).

 

Análogamente, llamaremos transpalíndromos numéricos a aquellos números que son palindrómicos en distintas bases de numeración. Como aquí manejaremos en ocasiones bases altas, en lugar de establecer símbolos suplementarios en ellas para los “dígitos” superiores a 9, escribiremos el correspondiente “dígito” en base decimal representado entre paréntesis. Así, en base hexadecimal, en vez de escribir 2A3C escribiremos 2(10)3(12)(16).

 

Como antes, no admitiremos los casos triviales, a saber:

 

1.      No consideraremos como palindrómicos los simples dígitos. Esto excluye los palíndromos en una base de numeración superior al mismo número. Por ejemplo, 24 en base 30, que representaremos (24)(30) sólo tiene una cifra.

2.      Tampoco consideraremos los palíndromos triviales en que la base de numeración es una unidad inferior al propio número, que quedarían expresados como 11 en dicha base. Por ejemplo, el número decimal 250 se expresa 11(249).

 

La primera consecuencia que podemos obtener de nuestra investigación es que, pese a esas restricciones, existen infinitos números transpalindrómicos. Basta con considerar los de bases igual a una potencia de 10, cuyos “dígitos” son palindrómicos en dicha base. Por ejemplo:

 

(3003)(2772)(3003)(10000) = 300.327.723.003

 

(De hecho, también nos sentimos tentados a considerar estos transpalindrómicos como “triviales”.)

El primer número auténtica y múltiplemente transpalindrómico es 88, ya que además de la base decimal, es palindrómico en las siguientes:

 

88 = 323(5) = 44(21) = 22(43)

 

Hemos efectuado informáticamente una investigación de los números enteros hasta el 100.000.000 con bases menores que 100, obteniendo centenares de transpalíndromos. Se hallan en tal abundancia, que no consideramos de interés dar la lista tan larga que resulta (la mandaré a quien me la pida). Nos limitaremos a mencionar aquellos números que son transpalindrómicos en cinco o más bases de numeración:

 

252 = 2002(5) = (14)(14)(17) = (12)(12)(20) = 99(27) =77(35) = 66(41) = 44(62) = 33(83)

585 = 1.001.001.001(2) = 1.111(8) = (15)(15)(38) = (13)(13)(44) = 99(64)

616 = 434(12) = (22)(22)(27) = (14)(14)(43) = (11)(11)(55) =88(76) = 77(87)

666 = 22.122(4) = 3(12)3(13) = 1(16)1(19) = (18)(18)(36) = 99(73)

676 = 10.201(5) = 565(11) = 484(12) = 121(25) = (13)(13)(51)

828 = 3(10)3(15) = (23)(23)(35) = (18)(18)(45) = (12)(12)(68) = 99(91)

858 = 454(14) = 3(12)3(15) = (16)(26)(32) = (22)(22)(38) = (13)(13)(65) = (11)(11)(77)

2.112 = 696(18) = (44)(44)(47) = (33)(33)(63) = (32)(32)(65) = (24)(24)(87) = (22)(22)(95)

2.772 = (12)4(12)(15) = (44)(44)(62) = (42)(42)(65) = (36)(36)(76) = (33)(33)(83) = (28)(28)(98)

6.336 = (11)(22)(11)(23) = 828(28) = (72)(72)(87) = (66)(66)(95) = (64)(64)(98)

36.863 = (23)1(23)(40) = (17)(19)(17)(46) = (15)(17)(15)(49) = 8(47)8(65) = 7(66)7(68) = 3(89)3(97)

55.155 = (29)(35)(29)(43) = (24)(45)(24)(47) = (15)(19)(15)(60) = 959(78) = 6(35)5(93)

 

Como podemos ver, el número campeón es 252, con 8 palindromías distintas además de la decimal.

La siguiente tabla, confeccionada con criterios logarítmicos, indica que las frecuencias de los números transpalindrómicos van decreciendo, según una pauta similar a  la de los propios palíndromos, aunque más acentuada. Se ha contado cada transpalíndromo tantas veces como bases en que lo es (por ejemplo, 252 ha sido contado como ocho transpalíndromos).

Recordemos que la tabla se refiere solamente a bases menores que 100.

 

INTERVALO

NÚMERO DE TRANSPALÍNDROMOS

1-1.000

1.001-10.000

10001-100.000

100.001-1.000.000

1.000.001-10.000.000

10.000.001-100.000.000

206

185

944

285

415

384

 

Pueden señalarse diversas curiosidades. Por ejemplo:

 

·        Para los aficionados a la numerología: el conocido 666, llamado también “número de la bestia” (Apocalipsis 13,18) es palíndromo en otras cinco bases. Una de ellas es 19, número muy importante  para el Islam. Otro número  formalmente parecido al de la “bestia”, el 6336, que puede considerarse un derivado suyo con el 6 central escindido, admite cinco palindromías más, algunas tan sugerentes como (11)(22)(11)(23), o (66)(66)(95)..

·        Algunos números que son potencias perfectas (y que por tanto se expresarían en la forma 1000...0 en algunas bases) son palindrómicos en otras. Así 121 = 112 = 100(11), es también 11.111(3), 232(7), 171(8). En cuanto a  1331 = 113 = 1000(11) es también 131(35).

·        Otros números múltiplemente palindrómicos mantienen su palindromía en otras bases. Ya hemos visto antes el curioso repuno 11.111(3). Añadamos el decimal, 111, con las curiosas equivalencias 303(6), ó 33(36). En cuanto a 1.111, es equivalente a los sugerentes palíndromos  787(12), 676(13), 595(14), 171(30), o 3.333 = 3(21)3(30) = 1(19)1(49). Otros repunos son también transpalindrómicos en las bases estudiadas: 11.111 = 2(23)2(69); 111.111 = 26(19)26(65), pero si 1.111.111 es transpalindrómico, lo es en bases mayores que 100.

·        Y ya que estamos en números rep-dígitos, señalemos que todos los de base decimal son transpalíndromos hasta el 7.777 en bases menores que 100.

 

Josep M. Albaigès

Barcelona, marzo 1999