PALÍNDROMOS NUMÉRICOS

Los palíndromos numéricos, o capicúas por antonomasia en castellano (palabra procedente del catalán cap-i-cua, "cabeza y cola"), suelen merecer poca atención por parte de los aficionados a la Lingüística Recreativa. Sin embargo tienen interesantes propiedades, que resulta incitante explorar.

La primera es su distribución o "densidad" respecto de los números comunes, que disminuye rápidamente al crecer éstos, como conoce muy bien cualquier coleccionista de capicúas, que sabe la dificultad de hallar ejemplares de los de muchas cifras. Un 10 % de los números de 2 ó 3 cifras son capicúas, pero esta proporción baja al 1 % para los de 4 ó 5 cifras, al 0,1 % para los de 6 ó 7... Es decir, una ley exponencial, similar a la que regula los números primos. Pero parece que el conjunto de los primos palindrómicos es indefinido. En todo caso, el mayor de los conocidos es bastante grande:

10¹⁴⁸⁷30¹⁴⁸⁷1

Donde 0¹⁴⁸⁷ significa 1487 ceros seguidos. El número tiene 2977 cifras.

¿Existe relación entre ambos conjuntos? Claro es que un número primo y palindrómico debe tener un número impar de cifras, pues los palíndromos pares son todos múltiplos de 11 (el propio 11, primo, es la única excepción a esta regla). Se ha observado que existen parejas de tales números que difieren sólo en la cifra central (el ejemplo más obvio es 131, 151 y 181).

¿Es infinito el número de tales parejas? Está por resolver la cuestión. En todo caso, la mayor conocida es la formada por los números

10⁴⁹⁹305558555030⁴⁹⁹1 y 10⁴⁹⁹305559555030⁴⁹⁹1

Tampoco pueden existir números primos "repes no unitarios", es decir, formados por una única cifra distinta de 1, lo que sería el caso más absoluto de palindromía. Efectivamente, es claro que 7777777, por ejemplo, es múltiplo de 7. Pero, ¿y si la cifra es 1? Éstos son los llamados "repunos", cuyo caso más claro es nuevamente 11. Pero hay que esperar bastante hasta hallar un nuevo repuno primo, ya que el si-guiente es

1.111111.111111.111111

Es decir, ¡diecinueve unos seguidos! Otros son los formados con 23 unos y con 317 unos. No se conocen más, por ahora, aunque es "casi seguro" que también lo es el formado por 1031 unos. La descomposición en factores primos de algunos repunos es ciertamente chocante, como por ejemplo:

R(38) = 11.111111.111111.111111.111111.111111.111111 =

= 11 ´ 909090.909090.909091 ´ 1.111111.111111.111111

R(39) = 111.111111.111111.111111.111111.111111.111111 =

= 3 ´ 37 ´ 53 ´ 79 ´ 265371653 ´ 900900.900900.990990.990991

Los capicúas aparecen en todas las clases de números naturales. Existen infinitos palíndomos que son cuadrados perfectos, así:

11² = 121

22² = 484

26² = 676

836² = 698896

También hallamos palíndromos entre los cubos (22013 = 10.662.526.601), triangulares (55,66,171, 595...). El primero de ellos pertenece también a la serie de Fermat.

Describamos ahora una curiosa operación. Si sumamos un número con su "reflejado numérico" se obtiene a menudo un palíndromo. Así 241 + 142 = 383. En ocasiones hay que reiterar el proceso:

967 + 769 = 1736

1736 + 6371 = 8107

8107 + 7018 = 15125

15125 + 52151 = 67276

¿Se llegará siempre así a un palíndromo, partiendo de cualquier número? Esta conjetura permaneció abierta muchos años y el advenimiento de las computadoras pareció por un momento que iba a resolverla. Hacia 1960 existían 233 números enteros menores de 10.000 que no se palindromizaban tras 100 pasos. La aplicación de los modernos ordenadores los fue pulverizando gradualmente, pero quedan dos rebeldes, el 196 y el 879 (y otros en que la operación converge desde aquéllos, como 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 887, 978, 986), que tras millones de pasos han rehusado capicuarse.

La pregunta continúa pendiente, pero lo curioso es que en otros campos está ya dilucidada. Por ejemplo, el número 10110 en base binaria jamás conduce a un palíndromo.

Josep M. Albaigès

Barcelona, agosto 1989

MÁS SOBRE LA "SUMA PALINDROMIZADORA"

En [C-1] se habló de las curiosas propiedades de la "suma palindromizadora" (en adelante, SP), operación consistente en sumar a un numero dado su "reflejado numérico". Por ejemplo, 431 + 134 = 564. La operación debe ser reiterada a veces pero se acaba llegando casi siempre a un palíndromo. Según THE PENGUIN DICTIONARY OF CURIOUS AND INTERESTING NUMBERS (David Wells, Penguin Books, 1987) el único rebelde menor de 10.000 hallado hasta el momento es 196, pero esta información se contradice con la del propio libro, que cita también a 1675 con esta misma propiedad (en realidad, éste es un "derivado" de 196, que aparece en la segunda iteración).

Por otra parte, por mi cuenta he hallado otros números "rebeldes", también menores que 10.000, incluso que 1000. El primero, claro, es 691, el reflejado de 196. También lo son 295, 394, 493, 592, 689, 788, 790, 887, 986, que conducen, como 196, al ya citado 1675 o a sus derivados.

Pero también resulta "rebelde" 879 (y, claro, 978 y los derivados), que tras 2000 iteraciones no se palindromizan ni concurren con los derivados de 196.

El problema central que se plantea es: ¿Acaba cualquier número produciendo un palíndromo? En mi opinión, la respuesta es negativa. Más aún, sólo por azar se dan tan pocos rebeldes antes de 10000. El propio DICTIONARY cita que hasta 100.000, ya aparecen 5996 números rebeldes (no dice tras cuántos pasos).

Para poder empezar a aproximarse al estudio del problema, analicemos el proceso de aumento que se opera en un número tras someterlo a un paso de la SP. En el caso más extremo, el de un número empezando y terminando 10000....99999, el resultado de la SP es unas 11 veces el número de partida, mientras que en el caso opuesto (9999...00001), el número aumenta sólo 1,1 veces.

Podría pensarse por ello que, por término medio, la operación SP tiende a multiplicar el número N por un valor aproximado a la media geométrica de dichos valores, pero no

es así. En las tablas adjuntas se observa el resultado de la aplicación de 4000 iteraciones a 196, y de 2000 a 879. Vemos que el "factor de aumento" medio k parece tender a un límite, por cierto sospechosamente próximo al número e. Quizá no sea más que una coincidencia, pero el mismo valor, más aproximado todavía, se repite para 879. Estudiada esta convergencia con algún detalle (v. las gráficas), resultan chocantes las oscilaciones en torno al valor supuesto.

De todos modos, y a falta de seguridad sobre ese punto, admitamos el resultado empírico de que cada proceso SP multiplica el número por término medio por 2,65. Para que tras una SP haya palindromización, todas las cifras del número deben ser inferiores a 5. Si la probabilidad de aparición de una cifra fuera uniforme, la de que hubiera palindromización sería por tanto:

p = 2^-m

Siendo m la mitad por exceso del número de cifras c, o sea m = int [(c+1)/2]. Admitiendo pues esta probabilidad, y que cada iteración aumenta por término medio el número de cifras en log₁₀(2,65) = 0,42, será fácil construir un programa que nos proporcione las probabilidades de palindromización. Éstos son sus resultados:

c p

2 0,9907

3 0,9335

4 0,8771

5 0,7245

6 0,6333

7 0,4675

8 0,3884

Estos resultados están lejos de ser ajustados, pues para n=3, debería ser p = 0,987, ya que hemos visto que 13 números entre 100 y 999 no se palindromizan. Pero el aire de los resultados es concluyente, y muestra que para pocas cifras la palindromización es casi segura, pues aunque la probabilidad no alcanza unos grandes valores en cada paso, el número de éstos es tan grande como queramos. Al crecer el número de cifras disminuye también p, y por ello resulta lógico pensar que, partiendo de números de cifras elevados, no se capicuará el número.

De hecho, construyendo un programa de ordenador que realice los procesos anteriores, es fácil ver que, en cuanto probamos con números de 6 ó más cifras, es muy frecuente no alcanzar la palindromización tras centenares de iteraciones. Y resulta casi utópico pensar que ésta vaya a llegar con números de centenares o miles de cifras, en los que sería una coincidencia milagrosa que todas fueran inferiores a 5.

Claro que, ¿quién sabe...?

Josep M. Albaigès

Barcelona, julio 1989

EXPLICACIÓN DE LAS TABLAS

En la primera columna se sitúa el número de iteraciones SP, en la segunda y tercera el número a que se ha llegado en notación científica (por ejemplo, para N0 0 879 y 300 iteraciones, el número es 1,9506 x 10134), en la cuarta el logaritmo de la relación entre este número y el de partida, y finalmente en la quinta el factor equivalente, obtenido así:

k = (N/N0)1/i