OJO
ROJO
Dice mi diccionario:
Palíndromo es una palabra o frase que
se le igual de izquierda a derecha, que de derecha a izquierda.
ESTO ES UN ERROR
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Para un buen palindromlsta o pera un
mal palindromólogo (como soy yo), un Palíndromo es: una letra, un digito, un
signo, una palabra, o un conjunto de palabras, que a veces forman frases (o
enunciados, como se dice ahora), que se pueden leer (si se sabe)(ver anécdota
adjunta) en todas direcciones: hacia arriba, hacia abajo, diagonalmente, hacia
la derecha, hacia la izquierda, regresándose al llegar a la mitad, en ángulos
recto, agudo, obtuso, en doble ángulo, en fin en todas las formas.
He aquí una muestra con el palíndroz.o
de }ieczencad "Ojo rojo".
¿Cuántas veces podria usted leer el
Palíndromo de Heczencad "Ojo rojo"? Recuerde que se puede leer en
todas las direcciones posibles. Inténtelo. Tome un papel y un lápiz y anote los
números de los cuadros que va usando.
Las letras deberán estar unidas por
el perímetro del cuadro o por alguno de sus vértices o esquinas, no es válido
saltar el cuadro de alguna letra.
Ejemplo diagonal: 1-9-17-25-33-41-49
Ejemplo vertical:
4-11-18-25-32-39-46
Ejemplo horizonta1:22-23-24-25-26-27-28
Ejemplo angular: 1-9-17-25-19-13-7
Ejemplo doble ángulo: 2-9-17-25-19-11-4
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SOLUCIÓN
El problema propuesto por
HECZENCAD (Héctor Zenil Cadena) puede ser resuelto en su caso más general
procediendo por inducción matemática.
Sea el palíndromo de orden
impar 2n+1, contenido en un cuadrado de lado igual a este valor. Con las
condiciones impuestas, el palíndromo deberá ser leído en dos partes: una, de la
periferia hacia el centro, y otra a la inversa. Se habrá pasado, como punto
central del "viaje", por la casilla central.
Estudiemos esta segunda
parte de la lectura. El primer paso tiene 8 posibilidades (en el ejemplo
propuesto, desde la R a cualquiera de las Oes de la orla cuadrada
17-18-19-22-33-32-31-24). Desde la casilla alcanzada se deberá alcanzar,
mediante un nuevo paso, una de la orla de las Jotas.
Desde cada una de las Oes se
puede saltar a 3 casillas distintas, salvo desde las Oes de las esquinas, en
que las posibilidades son 5. Esta regla es válida para todas las orlas
siguientes: cada letra de una orla permite el acceso a tres de la orla
siguiente, salvo las de las esquinas, que permiten el acceso a cinco.
Por tanto, si es f(n) la
expresión que liga el orden de una orla con el número posible de maneras de
alcanzar desde el centro una letra contenida en ella, será:
f(n) = 3[f(n-1) -
4] + 4×5 = 3f(n-1) + 8
Como, además, f(1) = 8, de esta expresión recurrente se concluye
fácilmente que
f(n) = 4[3n
- 1]
Pasemos ahora al problema
más general. Por simetría, el número de modos posibles de alcanzar el centro
desde la periferia valdrá igualmente f(n). Como cada una de estas trayectorias
entrantes puede combinarse con cada una de las salientes, la fórmula final
resultará ser:
F(n) = [f(n)]² = 16[3n
- 1]²
Veamos algunos casos
particulares:
n 2n+1 F(n)
1 3 8
2 5
1.024
3 7
10.816
4 9
102.400
5 11
937.024
Barcelona, nov 90