TONELERÍA COMPARADA
Alfredo Quesada ha reunido una colección
singular: fórmulas que dan el volumen de un tonel. Nos hemos entretenido en
compararlas para cotejar su grado de exactitud, y la primera dificultad ha sido
homogeneizarlas para que todas dependan de los tres valores R = OF, r = MD, h =
MN (v. figura). Para cotejarlas más fácilmente, las hemos escrito de forma que
cada una de ellas consista en una expresión del tipo kπR2h, donde k es un factor, al que llamaremos
“coeficiente del tonel”, y el resto es el volumen del cilindro circunscrito.
El factor k depende siempre de ω = r/R, es decir, la relación
entre los radios mínimo y máximo. También hemos hecho τ = h/R, pero sólo en una fórmula se hace depender el volumen
de esa relación.
Fuente: NUEVO DICCIONARIO ILUSTRADO SOPENA DE
LA LENGUA ESPAÑOLA (1.970)
V =
[(3,1415926 * h)/3] (2*R²+r²) 
Fuente: IDEAS Y TRUCOS PARA CONOCER DATOS
ÚTILES (Albert Seine) (Ediciones Robinbook)
V = 3,1415926 * h [ r +
2/3 * (R – r)]² 
V – Volumen
h – Altura del tonel
R – Radio mayor (centro del tonel)
r – Radio menor (extremos)
Fuente: MEMORIAL TÉCNICO (L. Mazzocchi Ing.)
(Editorial Librería Dossat)
Fórmula de Oughtred:
Volumen
= 0,262 . L (2 D²+ d²)
Fórmula de Dez:
Volumen
= 0,785 . L [D- 3/8(D-d)]² 
Fórmula práctica:
Volumen
= 0,087 . L (2D+d)²
Donde: L es la longitud interior, D el
diámetro interior máximo y d el diámetro de los fondos.
Fórmula de Manuel García Ardura (Formulario de matemáticas, 1961):
Volumen = 0,2h(D+d)2 = 
Fórmula de A. L. Casilla (Máquinas. Cálculos de taller, Ediciones
Máquinas). El autor supone la directriz parabólica:
Volumen = 0,209h(2D2+Dd+¾d2)
= 
Fórmula de la Enciclopedia Cíclico-pedagógica
de Dalmau Carles:
Volumen = (5/8)×d3 
Donde: d es la distancia desde el tapón hasta
el punto interior más alejado de él.
Lo primero que se observa es que la fórmula de Seine y la llamada “práctica” se reducen a la misma. En general, todas ellas hallan algún tipo de promedio entre las áreas máxima y mínima de las bases y la multiplican por la altura y por algún coeficiente.
Buscando hallar una fórmula objetiva basada en el cálculo integral, hemos hecho la suposición de que la curva generatriz del tonel es una parábola de grado n, es decir, que el valor del radio del tonel es en todo momento:
El cálculo integral proporcional la fórmula del volumen:
Desarrollando esa integral y poniendo el resultado en función de R, r, h y ω llegamos a:
Es fácil construir una tabla y gráfica de esta fórmula, que tiene el aspecto de la figura. El coeficiente del tonel aumenta con n, como era de esperar. De hecho, un valor n=1 correspondería a un tonel formado por dos troncos de cono unidos por sus bases menores, que no se dan en la práctica, mientras que valores altos de n serían toneles muy próximos a un cilindro. Probablemente, el valor que más se aproxime a los reales sea n = 2, correspondiente a una directriz en forma de parábola ordinaria. El coeficiente del tonel vale para este caso:
Observemos, por cierto, que este valor no coincide con el de Casillas. Comparemos ahora este valor con los obtenidos tabulando también las fórmulas anteriores.
|
VOLUMEN
DE UN TONEL DE DIRECTRIZ PARABÓLICA DE GRADO n (Valor
del coeficiente k) |
||||||||
|
ω |
Parabó-lico n=2 |
Sopena |
Seine |
Ough-tred |
Dez |
Dalmau (τ= 1,5) |
G. Ardura |
Casillas |
|
0,00 |
0,767 |
0,667 |
0,444 |
0,667 |
0,391 |
0,259 |
0,255 |
0,532 |
|
0,05 |
0,774 |
0,668 |
0,467 |
0,668 |
0,414 |
0,285 |
0,281 |
0,546 |
|
0,10 |
0,781 |
0,670 |
0,490 |
0,670 |
0,439 |
0,313 |
0,309 |
0,561 |
|
0,15 |
0,789 |
0,674 |
0,514 |
0,674 |
0,464 |
0,343 |
0,337 |
0,576 |
|
0,20 |
0,797 |
0,680 |
0,538 |
0,680 |
0,490 |
0,376 |
0,367 |
0,593 |
|
0,25 |
0,806 |
0,688 |
0,563 |
0,688 |
0,517 |
0,411 |
0,398 |
0,611 |
|
0,30 |
0,816 |
0,697 |
0,588 |
0,697 |
0,544 |
0,448 |
0,431 |
0,630 |
|
0,35 |
0,826 |
0,708 |
0,614 |
0,708 |
0,572 |
0,489 |
0,465 |
0,650 |
|
0,40 |
0,836 |
0,720 |
0,640 |
0,720 |
0,601 |
0,531 |
0,500 |
0,670 |
|
0,45 |
0,847 |
0,734 |
0,667 |
0,734 |
0,630 |
0,577 |
0,536 |
0,692 |
|
0,50 |
0,858 |
0,750 |
0,694 |
0,750 |
0,660 |
0,626 |
0,574 |
0,715 |
|
0,55 |
0,870 |
0,768 |
0,723 |
0,768 |
0,691 |
0,677 |
0,613 |
0,739 |
|
0,60 |
0,883 |
0,787 |
0,751 |
0,787 |
0,723 |
0,732 |
0,653 |
0,763 |
|
0,65 |
0,896 |
0,808 |
0,780 |
0,808 |
0,755 |
0,790 |
0,694 |
0,789 |
|
0,70 |
0,909 |
0,830 |
0,810 |
0,830 |
0,788 |
0,851 |
0,737 |
0,816 |
|
0,75 |
0,923 |
0,854 |
0,840 |
0,854 |
0,821 |
0,915 |
0,781 |
0,844 |
|
0,80 |
0,937 |
0,880 |
0,871 |
0,880 |
0,856 |
0,983 |
0,826 |
0,872 |
|
0,85 |
0,952 |
0,908 |
0,903 |
0,908 |
0,891 |
1,055 |
0,873 |
0,902 |
|
0,90 |
0,968 |
0,937 |
0,934 |
0,937 |
0,926 |
1,130 |
0,921 |
0,933 |
|
0,95 |
0,984 |
0,968 |
0,967 |
|||||