Presència de la palindromia al nombre d’or i altres irracionals

Comunicació presentada al I Congrés Palindròmic Internacional (Torredembarra)

21.03,09

Havia ja publicat diversos articles a SEMAGAMES sobre un tema habitualment poc explorat, el de la palindromia numèrica. Sempre em referia a nombres primers palindròmics, a condicions de palindromia, freqüències en l’aparició de palíndroms i altres temes similars, però sempre referits a nombres enters. No havia explorat mai el camp de la palindromia en el dels nombres fraccionaris i irracionals.

Potser serà útil començar amb una reproducció del Christmas que el Nadal passat vaig dedicar als meus amics, entre els que es compten, naturalment, els palindromistes. Era aquesta:

Benvolguts amics: Som a l’any 8, un número de Fibonacci. Així doncs us felicito… recordant-lo. Fibonacci era un matemàtic dels segles XII-XIII, que va descobrir uns números que duen avui el seu nom. Cada un es forma sumant els dos anteriors.

Primer número de Fibonacci: 1

Segon: 1

Tercer: Suma del 1^r i el 2ⁿ, 1 + 1 = 2

Quart: Suma del 2ⁿ y el 3^r, 1 + 2 = 3

Cinquè: Suma del 3^r i el 4^t, 2 + 3 = 5

Sisè: Suma del 4^t i el 5^è, 3 + 5 = 8

Setè: Suma del 5^è i el 6^è, 5 + 8 = 13

Vuitè: Suma del 6^è i el 7^è, 8 + 13 = 21

Novè: Suma del 7^è i el 8^è, 13 + 21 = 34

Desè: Suma del 8^è i el 9^è, 21 + 34 = 55

Onzè: Suma del 9^è i el 10^è, 34 + 55 = 89

I així successivament...

I què passa amb aquests números? Resulta que apareixen molt a la naturalesa. Per exemple, al bròquil:

Si us hi fixeu bé, notareu que les seves gemmes estan formades per espirals creuades. Quantes? 13 i 21. Trobaríem números d’aquests a les tiges de les plantes, a les pinyes, als pètals de les margarides i a moltes manifestacions més del món natural que ens volta.

Dediquem doncs aquest Nadal a Fibonacci, que demostrà que fins i tot al bròquil hi ha matemàtiques!

Va ser una carta de Josefet Fuentes que em va suggerir tractar el tema. Deia el nostre bon amic palindromista, al∙ludint-lo:

La teva felicitació fibonacciana, m´ha fet pensar en un nou repte: la seqüència de Fibonacci i les corbes logarítmiques, de les teves fotos, tenen en comú el número auri, Φ o  1,618. La perfecció d´un palíndrom ha d´amagar, per força, aquesta mateixa proporció. Busquem l´1,6 palindròmic!

Bé, doncs som-hi. No voldria que això semblés una classe de matemàtiques, però són indispensables alguns conceptes previs. De primer, serà útil fer una repassada als nombres racionals. Com és sabut, aquests responen a una expressió del tipus p/q, éssent p i q nombres enters (per a més simplicitat, suposarem que la fracció p/q és irreductible). Aquest tipus de nombre té sempre una expressió decimal infinita periòdica, llevat el cas que q sigui un nombre format exclusivament per potències de 2 i 5, és a dir, que

q = 2^m5ⁿ

En tots els altres casos, l’expressió serà periòdica, precedida o no d’una part no periòdica. Per exemple:

Podem representar els anterior valors, abreujadament, com:

Un nombre decimal periòdic del tipus es pot representar sempre com abcd…l/9999…9 (amb tants 9 com xifres hi hagi al numerador), fracció que serà simplificable o no. Però si abcd...l és palindròmic i a més té un nombre parell de cifres, sempre es pot dividir per 11. I també un reguitzell de nous parell s’hi pot dividir, de manera que sempre una fracció d’aquest tipus serà simplificable. Per exemple:

Observem que el denominador ens ha sortit palidròmic. Aquesta propietat és absolutament general. Per exemple, el denominador 999999 condueix a 90909, i en general, un seguit de nous parell condueix a 90909…09.

…oooOOOooo…

Però l’autèntic interès palindròmic es dóna en els nombres irracionals. Abans d’entrar-hi, recordem que una fracció de qualsevol tipus és expressable mitjançant les anomenades “fraccions reduïdes”. Per exemple, donada 67/31, fem-li aquestes manipulacions:

Podem simbolitzar aquesta expressió com a {2,6,5}. Es pot demostrar que qualsevol fracció té sempre una representació reduïda d’aquest tipus {a,b,c,d...}, única i finita.

Els nombres irracionals no admeten una representació decimal periòdica. Per exemple, el famós π = 3,1415926535… mai no mostrará periodicitats en les seves infinites cifres, que apareixen arreu i de forma irregular.

Els nombres irracionals admiten una expressió reduïda infinita, que habitualment és també completament irregular. Per exemple, el número π esmentat val:

π = {3,7,11…}

Però a vegades sí que determinades fraccions reduïdes infinites i periòdiques amb algun especificitat determinada poden correspondre a nombres irracionals especialment interessants. Per exemple, el no menys famós nombre e = 2,7182818284…, base dels logaritmes neperians, té una expressió del tipus:

e - 1 = {1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10…}

Entre totes aquestes expressions redundes singulars, ocupen un lloc especial les periòdiques. I entre aquestes, potser la més senzilla és {1,1,1,1,1,1,1,…}.

Justament aquesta reduïda correspon al desenvolupament del famós “nombre d’or”, representat per Ф (lletra curiosament simètrica) tan utilitzat a les arts i present fins i tot a la naturalesa. O sigui:

I encara hi ha una altra expressió infinita simètrica no menys notable:

Ja s’ha demostrat fa temps la irracionalitat d’aquest nombre, expressat mitjançant l’equació quadràtica:

Ф² – Ф – 1 = 0

Que té per solució:

El nombre Ф apareix als llocs més impensats, des de les proporcions dels edificis clàssics a les dels quadres i fins i tot a la natura, a les espirals logarítmiques dels cargols o les proporcions de les fulles de molts vegetals. En art, l’anomentat “rectangle auri”, els costats del qual guarden aquestes proporcions, és considerat el més estètic posible:

Com hem dit, Ф = {1,1,1,1,1,1,1,…}, que és la expressió més simètrica i senzilla imaginable. Certament, el nombre d’or guarda sorpresas interessants. Podem agafar les successives reduïdes {1}, {1,1}, {1,1,1}, {1,1,1,1} i trobar les corresponents fraccions racionals, que constituiran bones aproximacions del nombre Ф. Aquest és un procediment habitual per aproximar nombres irracionals mitjançant fraccions, i val a dir que en el nostre cas es dóna la convergència (aproximació) més lenta de totes. Les fraccions que trobem són:

Quins són es numeradors i denominadors d’aquestes fraccions? Doncs justament els famosos “nombres de Fibonacci”, que hem vist al començament. Una vegada més es fa palesa l’íntima relació que existeix entre el nombre d’or i la successió fibonacciana. Per cert, l’únic nombre de Fibonacci palindròmic que conec és el 55, crec que no n’hi ha cap més.

Aquestes fraccions es van aproximant, cada vegada més, a Ф. Vegem-ho:

De fet, pot demostrar-se que aquestes aproximacions són les millors possibles que es poden aconseguir amb denominadors no superiors.

Els artistes moderns no han mensytingut combinar els nombres de Fibonacci, generadors del nombre d’or, amb la simetria. Mostra n’és l’escultura de l’australià Andrew Rogers, a les afores de Jerusalem, on els blocs s’arrengleren, verticalment, segons aquests nombres:

Podríem preguntar-nos què passa amb altres successions del mateix tipus, com ara la Ф₂ = {2,2,2…}, la Ф₃ = {3,3,3…} i en general la Ф_n = {n,n,n…}. Condueixen a les equacions:

Ф_n² - nФ_n – 1 = 0

Així per exemple:

Ф₂ = {2,2,2,2,…} = 1 + √2 = 2,41421…

Ф₃ = {3,3,3,3,…} = 3/2 + 1/2√13 = 3,30278…

Curiosament, Ф₂ conté el nombre irracional √2, que és la proporció en què modernament es tallen els fulls de paper de la sèrie DIN, no tan estètica com la del nombre Ф. Seguirà una progressió similar al futur?

En tot cas, si entrem al plànol geomètric, la relació entre la palindromía i el nombre d’or es fa encara més intensa, manifestetant-se sobretot a través del pentàgon regular, el costat del qual és justament el nombre d’or del radi del cercle en el que està inscrit. La relació apareéis insistentment en la figura preferida pels simbolistes, que ha estat sempre el pentàgon estrellat o pentalfa. En aquest croquis es pot veure que si es pren com a unitat el pentàgon intern, el costat de cada un dels triangles isòsceles que el coronen és justament Ф. Però podem reiterar la figura en el pentàgon intern

En aquesta figura es repeteix ad infinitum el nombre Ф:

La pentalfa recorda més o menys vagament la figura d’un home amb els braços estesos, i així ha estat percebuda des de temps anics. Veiem-ho, si no, en la figura de Heinrich Cornelius Agrippa Libri tres de occulta philosophia:

Sens dubte en aquesta es va inspirar Leonardo da Vinci en el seu famós home:

Josep M. Albaigès i Olivart

Barcelona, desembre 08