La Teoría de las Catástrofes de René Thom

El profesor francés René Thom, del IHES (Instituto para Estudios Científicos Avanzados) empezó a desarrollar sus estudios sobre la Teoría de las Catástrofes en los años 60, provocando una animada controversia en la comunidad científica. Hay que advertir que, pese al nombre, su alcance es mucho más amplio que el concerniente a las catástrofes naturales o artificiales, encuadrándose como modelo descriptivo y previsor de todo proceso resultante de la bifurcación de un estado de equilibrio en determinadas condiciones. En el sentido de Thom, la palabra “catástrofe” expresa un proceso cuya evolución sufre discontinuidades en una o varias zonas.

La Teoría de las Catástrofes supone el lado opuesto a lo que en Termodinámica se llama “proceso reversible”, es decir, aquel que viene determinado unívocamente en función de una serie de valores de control o variables independientes. Un ejemplo muy simple de un proceso de este tipo unívoco es la longitud de una varilla metálica en función de la temperatura. A cada valor T de ésta corresponde otro L de la longitud, de forma que L = f(T). El proceso está definido en cualquier sentido, con temperaturas ascendentes y descendentes, y no depende, por ejemplo, de la velocidad con que varía la temperatura. A cada valor de ésta corresponde unívocamente uno de la longitud.

Pero otros procesos se comportan de forma distinta. Para simplificar en lo posible, imaginemos que un determinado proceso depende de dos variables de control (x,y), en función de las cuales presenta unos estados caracterizables definidos por unos valores, que representaremos en el eje vertical (z). En general, variaciones de (x,y) conducirán a valores unívocamente definidos, representables mediante la superficie de ecuación z = f(x,y). Véase la Figura 1.

Figura 1

Hay procesos de este tipo cuya superficie característica manifiesta una divergencia, como vemos en la figura. Para dos valores muy próximos (x,y), (x,y+dy), puede ocurrir que las sucesivas variaciones de x conduzcan a dos regiones distintas de la superficie separadas por un “pliegue”, como ocurre con los puntos P y Q. Obsérvese que P y Q están situado en zonas distintas de la superficie, y no es posible el paso de una a la otra más que mediante un salto o discontinuidad

No es difícil imaginar ejemplos: Sea una compañía aérea obligada a satisfacer toda la demanda de pasajeros. Si el avión habitual tiene una capacidad de 100 pasajeros, una demanda de 101 motivará la necesidad de utilizar un avión mayor, incluso la de aterrizar en un aeropuero distinto. En pocas palabras, variaciones muy pequeñas del punto inicial de partida derivan hacia resultados totalmente alejados.

Analicemos más de cerca el proceso. Partiendo de un punto A definido por las coordenadas z_A = f(x_A,y_A), variemos (x,y) según la línea roja (Figura 2). Al llegar al punto B no es ya posible seguir manteniéndose en la superficie, y el valor de z sufre un brusco cambio, mediante el cual, sin variar (x_B,y_B) se pasa bruscamente del valor z_B al z_C. Ha habido lo que técnicamente se denomina una “bifurcación del equilibrio”. Este proceso discontinuo se da en multitud de terrenos: por ejemplo, en la vaporización del agua al llegar a 100º C, en la aparición del pandeo en una columna, o en general en el colapso total de una estructura. En todos estos casos el paso de z_B a z_C es brusco, y acontece espontáneamente, de forma imprevisible y sin que, en principio, varíen los valores, pues (x_B,y_B) = (x_C,y_C).

Figura 2

Sigamos analizando la superficie. Obsérvese que, en teoría, podría volverse al punto inicial (x_A,y_A,z_A) recorriendo la línea azul CD. Al llegar al punto D del pliegue, otro brusco cambio nos conduciría al punto E, mediante el cual podría alcanzarse el A, esta vez de manera continua según el camino EA. Se dice, en este caso, que el proceso ha recorrido un camino de histéresis.

Incluso, en lugar de los dos caminos indicados, podríamos haber recorrido la línea negra, pasando por el punto F, y recorriendo la línea AFC (o la CFA), esta vez de manera continua. Se habría dado en este caso un tránsito continuo entre dos puntos de equilibrio. El paso de determinados estados de hielo-líquido o de líquido-vapor puede alcanzarse en un cuerpo mediante procesos de ese tipo, como se estudia en Termodinámica.

¿Hasta qué punto la “teoría de las catástrofes” de Thom es aplicable a las catástrofes de la naturaleza o humanas? Totalmente, salvo en un punto: sólo será posible la “ida” de uno de los caminos señalados (rojo o azul); la “vuelta” será imposible. De hecho, podría definirse una catástrofe natural o humana como un proceso definido según el modelo de Thom en el cual no es posible el ciclo de histéresis.

Por supuesto, el ejemplo dado es muy elemental, y no haría falta la construcción de la “superficie” para poder seguir el proceso. Pero el ejemplo dado sólo sirve para fijar ideas, pues en la Naturaleza se dan bastantes más de dos variables, y además, un proceso de colapso puede venir definido mediante superficies muy complicadas, a lo largo de las cuales sean posibles diversidad de caminos a través de diversidad de pliegues o de forma continua. El estudio generalizado del método de Thom puede llevar a definir en detalle estas “superficies”, haciendo posible el estudio detallado para ellas de los mejores “caminos” recorribles, que eviten discontinuidades o al menos seleccionen las más favorables. Combinando los estudios informáticos con métodos organizativos como el PERT o similares, será posible analizar cuáles son los puntos más desfavorables para que se produzca la “rotura” o al menos definir cuáles de las posibles discontinuidades son las más llevaderas.

Josep Maria Albaigès i Olivart

Ingeniero de Caminos