TENGUI, FALTI...
Los que hace muchos años estábamos en edad de
coleccionar cromos nos las veíamos y deseábamos para completar la colección.
Había que comprar sobres y más sobres con la esperanza de que alguno acabara
conteniendo el cromo soñado que permitía nuestro sueño.
Naturalmente, la solución más sencilla era
intercambiar cromos con los compañeros. Pero en este caso había que pagar por
ellos una determinada cotización: dos por uno, cinco por uno e incluso cien por
uno si el cromo era “difícil”.
Algunas editoriales ofrecían facilidades: era
posible comprar los cromos sueltos a elegir, naturalmente a un precio superior,
que triplicaba o cuadruplicaba el original. También algunas accedían al cambio,
con cotizaciones de cuatro por uno o similares.
Salta a la vista que la estrategia más
sensata para completar la colección sin arruinarse era comprar cromos en sobres
hasta tener una determinada parte de la colección completa, y terminarla
comprando los que quedaban a los precios superiores impuestos por los compañeros
o la editorial.
Y ahora viene la pregunta: ¿Cuál es la
estrategia óptima? Supondremos que el precio de un cromo suelto (comprado o
intercambiado) es k veces el del original y que la colección consta de N
cromos. Se supone que todos tienen la misma probabilidad de aparecer en los
sobres.
SOLUCIÓN A TENGUI, FALTI...
El
enfoque riguroso del problema exigiría calcular las probabilidades de que, con
una existencia de n cromos, se tenga
la colección completa, que falten uno, dos, etc. El aparato matemático exigido
sería tan farragoso que de hecho resulta imposible el enfoque por este
procedimiento.
Por
ello será inevitable asumir ciertas simplificaciones, y la mejor parece
trabajar con esperanzas matemáticas. Llamaremos “novedad” de un cromo a la
probabilidad de que éste sea distinto de los que ya tenemos. Y llamaremos t el tengui,
es decir, el número de cromos distintos
que en un momento dado poseemos.
Supongamos
que, patiendo de cero, se compran los cromos en la tienda (o sea al azar). El
primero aporta una “novedad” igual a 1,
que simbolizaremos t1 = 1.
Pero el segundo aporta una “novedad” menor, ya que existe una probabilidad
igual a 1/N de que sea igual al
primero. Suponiendo por ejemplo N = 10, será, t2 = 1 + (10 – t1)/10 = 1 + 9/10 = 1,9.
Es
decir, que llamamos tn a
la esperanza matemática del número de cromos distintos al comprar n de ellos al azar. Al pasar al tercer
cromo, y según el mismo razonamiento, es t3
= 1,9 + (10 – 1,9)/10 = 2,71.
Procediendo
en general, es tn = tn-1
+ (N – tn-1)/N. O sea:
Continuando con el
desarrollo de esta expresión, pronto se llega a:
Sumando esta serie
geométrica y simplificando, se obtiene finalmente:
A título de
ejemplo, si n = N, resulta aproximadamente:
Dicho de otra
forma: comprando un número de cromos igual al de la propia colección, por
término medio sólo se tendrán un 63 % de ellos no repetidos.
Desde luego, la
colección completa supone que tn
= N, lo que es teóricamente imposible: nunc apodremos tener la certeza
absoluta de que comprando un número determinado de cromos esté en ellos la
colección completa.
Podríamos
contentarnos con algunas aproximaciones, por ejemplo, suponer que tn = N – ½, y en este caso sería
aproximadamente 
, ecuación trascendente de la que resulta 
, valor desde luego desproporcionado (v. gr., para N = 100, n
= 530), por lo que no hay más remedio que recurrir a los compañeros o a la
editorial, en ambos casos mediante adquisición o intercambio. Vamos a estudiar
cada caso por separado.
1. Adquisición de cromos.
La compleción
“económica” de la colección es un problema de máximos y mínimos. Comprando n cromos a la tienda, el número de ellos
que son falti es igual a:
(1)
Si los cromos
adquiridos han sido pagados a una unidad por cromo y los falti deben serlo a k
unidades, el coste total de la colección es:
La
simple derivación de esta expresión respecto a n nos dará el valor óptimo de
este valor, que satisfará la ecuación:
Con
suficiente aproximación, dado que N es siempre grande, puede concluirse:
Por ejemplo: para
una colección de N = 100 cromos, con
un valor de compra por cromo suelto falti
fijado en k = 4, se encuentra que n =
239 veces el valor de un único cromo.
Lo
que nos lleva a establecer una relación interesante: la existente entre esta
inversión “óptima” y el coste total de los cromos de la colección comprados a
su precio uno por uno:
2. Intercambio de cromos.
Salta a la vista
que este procedimiento es en general más favorable, pues permite aprovechar los
cromos repetidos. De hecho, la condición fundamental será que los cromos repes sean
suficientes para comprar los falti a la cotización k. Es decir, en términos
matemáticos:
De
donde, sustituyendo los valores anteriores de la fórmula (1) y simplificando,
se obtiene:
Esta ecuación trascendente es bastante más
complicada que la anterior, pero puede igualmente resolverse por métodos
aproximados. Para el mismo ejemplo, con una tasa de intercambio igualmente
igual a 4, resulta una inversión total de 160 cromos.
3. Comparación
El segundo procedimiento será casi siempre de
eficacia muy superior al primero, pero pueden darse excepciones. En algún caso
muy extremo, de soluciones muy cortas, puede resultar más económico comprar
cromos a la editorial que intercambiarlos por cromos sueltos: por ejemplo, para
N = 6 y k = 2. La inversión es, con compra, de 10 cromos, y con
intercambio, de 8.