EL
SOLITARIO DE LA ABUELA
El mensista Roberto Herrera
Pérez plantea en una carta una antigua distracción con la baraja:
Tómese una baraja normal de guiñote aleatoriamente barajada
Descúbrase la primera carta, contando al mismo tiempo uno.
Id. la segunda, contando dos.
Id la tercera, contando tres.
………
Id la séptima contando siete.
Id la octava contando sota.
Id la novena, contando caballo.
Id la décima contando rey.
Id la undécima, contando uno.
Así, hasta pasar toda la baraja (40 cartas).
El juego (solitario) consiste en que no coincida la carta
que se saca con la carta que se canta.
Si alguna coincide, se acabó. Hay que volver a barajar y
empezar de nuevo.
Llevo años intentándolo y nunca lo he conseguido.
Este solitario me lo enseñó
mi abuela (con la baraja de doce cartas), y también a lo largo de mi vida lo he
practicado bastantes veces, aunque yo he tenido más suerte que Roberto.
¿Suerte? Vamos a calcular la
probabilidad de que salga el solitario.
Si la baraja tuviera
únicamente un palo, el problema sería muy fácil: se trataría de que la permutación de las cartas fuera absoluta, es
decir, que el número de orden la ninguna carta nunca coincidiera con su propio
número. Según las leyes de la combinatoria, la probabilidad de que esto ocurra
es, para n cartas:
Pero para barajas de dos o
más palos la cosa se vuelva bastante más complicada. Pues en estos casos hay
que evaluar las probabilidades de coincidencias en un lugar, en dos, en tres,
etc., lo que genera expresiones algebraicas enormemente tediosas.
Por suerte, podemos resolver
el problema más rápidamente aprovechando la rápida convergencia de la expresión
anterior. Para un número muy grande de cartas, la probabilidad de no
coincidencia de una carta en un lugar es 
, por lo que, para los n lugares, será 
. El solitario saldrá una de cada tres veces aproximadamente.
Fácilmente se concluye que
cuando el número de palos es k, la expresión pasa a ser:
Para el caso propuesto por
Roberto, el valor sería p = e-4 = 0,0183. Es decir, un 1,8 % de las
veces. Ciertamente es un solitario difícil, pero asequible.
Para afinar un poco más en
el resultado, puede utilizarse el método de Monte-Carlo,
“jugando” mediante el ordenador el solitario repetidas veces. Las
probabilidades que se obtienen son bastante parecidas a las calculadas. Para la
baraja de 12 cartas, sale tras 10.000 ensayos de cada solitario:
|
|
|
p |
e-k |
p |
e-k |
p |
e-k |
p |
e-k |
p |
e-k |
p |
e-k |
|
n |
|
|
4 |
|
8 |
|
12 |
|
16 |
|
20 |
|
24 |
|
k |
1 |
0.370 |
0.368 |
0.370 |
0.368 |
0.366 |
0.368 |
0.364 |
0.368 |
0.367 |
0.368 |
0.368 |
0.368 |
|
|
2 |
0.117 |
0.135 |
0.128 |
0.135 |
0.128 |
0.135 |
0.130 |
0.135 |
0.131 |
0.135 |
0.129 |
0.135 |
|
|
3 |
0.037 |
0.050 |
0.045 |
0.050 |
0.048 |
0.050 |
0.047 |
0.050 |
0.052 |
0.050 |
0.043 |
0.050 |
|
|
4 |
0.010 |
0.018 |
0.014 |
0.018 |
0.015 |
0.018 |
0.016 |
0.018 |
0.017 |
0.018 |
0.017 |
0.018 |
|
|
5 |
0.003 |
0.007 |
0.005 |
0.007 |
0.006 |
0.007 |
0.006 |
0.007 |
0.007 |
0.007 |
0.005 |
0.007 |
|
|
6 |
0.002 |
0.002 |
0.002 |
0.002 |
0.003 |
0.002 |
0.002 |
0.002 |
0.002 |
0.002 |
0.002 |
0.002 |
|
|
7 |
0.001 |
0.001 |
0.001 |
0.001 |
0.001 |
0.001 |
0.001 |
0.001 |
0.001 |
0.001 |
0.001 |
0.001 |
|
|
8 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
Como puede verse, los valores reales tienden rápidamente hacia los calculados.
Para el caso concreto de Roberto, tras 100.000 ensayos se obtiene p = 1,53 %,
valor algo inferior al previsto con la fórmula aproximada.
Josep
M. Albaigès, abril 1998