UN SOMERO ESTUDIO
DE LA PARADOJA DE SAN PETERSBURGO
La paradoja de San Petersburgo recibe este nombre por haber sido discutida hacia 1730 por Daniel Bernouilli en la Academia de San Petersburgo, y desde entonces ha llenado de libros los anaqueles de las librerías especializadas en juegos, y, sobre todo, de desconcierto las mentes de los estudiantes que han querido estudiarla. Tal es la fuerza con que su lógica golpea el sentido común.
Ilustrémosla con una partida entre Alexis i Boris. Ésta se compone de “secuencias de lanzamientos” de una moneda, tal como se describirán.
Cada “secuencia” consiste en que Alexis lanza una moneda tantas veces como sea necesario para obtener una cara.
Terminada la secuencia, Alexis paga a Boris una cantidad fija (digamos 1000 €), y Boris paga a Alexis una cantidad igual a 2k, siendo k la tirada en que ha aparecido la primera cara. Y vuelta a empezar. Es decir, a modo de ejemplo:
§ Si sale la primera cara al primer lanzamiento, Alexis paga 1000 € y Boris paga 2 €.
§ Si sale la primera cara al segundo lanzamiento, Alexis paga 1000 € y Boris paga 4 €.
§ Si sale la primera cara al tercer lanzamiento, Alexis paga 1000 € y Boris paga 8 €.
§ Si sale la primera cara al cuarto lanzamiento, Alexis paga 1000 € y Boris paga 16 €.
§ …..
§ Si sale la primera cara al décimo lanzamiento, Alexis paga 1000 € y Boris paga 1024 €.
§ …..
¿Qué tal el juego? Vemos que
Alexis sólo recuperará su dinero en las secuencias en que la primera cara
aparece (al menos) al undécimo lanzamiento. Obtendrá beneficios si aparece en
el duodécimo, decimotercero, etc. Pero cada
vez, con beneficios o no, deberá abonar 1000 €.
A primera vista, parece que es
una absoluta temeridad que Alexis entre en el juego. Sin embargo, su esperanza
matemática o producto del importe de cada premio posible por la probabilidad de
alcanzarlo es:
Es decir, que supera cualquier valor. O, lo que es lo mismo, Alexis podría entrar pagando por tanda no ya 1000 €, sino 1.000.000 o cualquier cantidad. Su ganancia a la larga es segura.
¿Cómo se aviene tal choque de los resultados del análisis con lo que predice el sentido común? La clave está en la pequeñísima probabilidad de Alexis de ganar si sólo se juega un número pequeño de tandas. Y aquí, “pequeño” puede suponer valores muy altos.
Intentemos evaluar el orden de magnitud del número de tandas n para las que Alexis tiene una razonable probabilidad de recuperar al menos su dinero.
Supongamos que Alexis y Boris juegan 1024 tandas. El pago que habrá efectuado Alexis es de 1.024.000 €. La teoría predice para los cobros un resultado similar al siguiente:
|
No. de secuencias |
Secuencia |
Cobro |
|
512 |
C |
1024 |
|
256 |
+C |
1024 |
|
128 |
++C |
1024 |
|
64 |
+++C |
1024 |
|
32 |
++++C |
1024 |
|
16 |
+++++C |
1024 |
|
8 |
++++++C |
1024 |
|
4 |
+++++++C |
1024 |
|
2 |
++++++++C |
1024 |
|
1 |
+++++++++C |
1024 |
|
1023 |
|
10240 |
¿Es plausible un resultado de este estilo? Las secuencias decisivas son las últimas. Concretamente, la de la última fila supone una racha de 9 caras, y la probabilidad de que esto ocurra es 1 - (1 -1/512)512 » 1 – e-1 » 0,632. La probabilidad de obtener un cobro de unos 10.000 € es razonable, especialmente considerando que no tenemos en cuenta lo que ocurre en la secuencia número 1024, que sin duda mejorará el resultado.
Desde luego, pese a todo el cobro es muy inferior al pago, pero veamos lo que ocurre si jugamos 2048 secuencias. El resultado plausible es ahora:
|
No. de secuencias |
Secuencia |
Cobro |
|
1024 |
C |
2048 |
|
512 |
+C |
2048 |
|
256 |
++C |
2048 |
|
128 |
+++C |
2048 |
|
64 |
++++C |
2048 |
|
32 |
+++++C |
2048 |
|
16 |
++++++C |
2048 |
|
8 |
+++++++C |
2048 |
|
4 |
++++++++C |
2048 |
|
2 |
+++++++++C |
2048 |
|
1 |
++++++++++C |
2048 |
|
2047 |
|
22528 |
Observemos que ahora se han duplicado los pagos, pero los cobros se han algo más que duplicado. La razón es que cada cobro es el doble, pero hay ahora un cobro más.
Es decir, que el importe de los cobro crece algo más deprisa que la de los pagos. No es difícil establecer unas fórmulas respectivas, para 2p secuencias:
P = 1000·n
C = (p – 1)2p
Salta a la vista que los cobros tenderán a igualarse con los pagos para un número de de secuencias parecido a 21000. De hecho, si extendemos el cálculo a un número muy grande de secuencias 2p, obtendremos el siguiente cuadro:
|
p |
pago(n) |
cobro(n) |
c/p |
||
|
100 |
1,2676506 |
×10^33 |
1,25497409 |
×10^32 |
0,01 |
|
200 |
1,60693804 |
×10^63 |
3,19780671 |
×10^62 |
0,2 |
|
500 |
3,27339061 |
×10^153 |
1,63342191 |
×10^153 |
0,5 |
|
1000 |
1,07150861 |
×10^304 |
1,0704371 |
×10^304 |
1 |
|
2000 |
1,1481307 |
×10^605 |
2,29511326 |
×10^605 |
2 |
|
5000 |
1,41246703 |
×10^1508 |
7,06092269 |
×10^1508 |
5 |
|
10000 |
1,99506312 |
×10^3013 |
1,99486361 |
×10^3014 |
10 |
|
20000 |
3,98027684 |
×10^6023 |
7,96015565 |
×10^6024 |
20 |
|
50000 |
3,16069944 |
×10^15054 |
1,58031811 |
×10^15056 |
50 |
|
100000 |
9,99002093 |
×10^30105 |
9,98992103 |
×10^30107 |
100 |
Superada la zona crítica de equilibrio, para n = 21000, la ganancia se materializa para valores superiores, alcanzando cualquier valor para n suficientemente alto. De hecho, curiosamente, la relación entre cobro y pago tiende a ser la misma que entre las partidas jugadas y el pago. Observemos que el valor anterior equivale a un número de secuencias igual a 21000 = 1,403 × 10693, un número fabulosamente alto.
Resumiendo: la pérdida segura del juego para Alexis si juega unas “pocas” secuencias es un caso particular de esos ensayos de hechos de pequeña probabilidad, en los que puede predecirse razonablemente que no se presentarán para un número reducido de ensayos. Pero a partir de cierto umbral, empieza a jugar la ley de los grandes números.
El rechazo instintivo al juego debe buscarse, según lo dicho, más en causas temporales que matemáticas. La vida es demasiado corta, y por otra parte, jugar contra una banca infinita supone perder a la larga. De hecho, el mismo Daniel Bernouilli profundizó en el estudio del concepto de “ganancia” como término personal distinto de la “esperanza matemática”. Mucha gente preferirá, por ejemplo, 10.000 € a una probabilidad del 10 % de 100.000 €, especialmente si su fortuna es de sólo 20.000 €. En cambio, esa misma persona podría preferir una probabilidad del 10 % de 1000 € a la seguridad de 50 €. En ambos casos las “esperanzas matemáticas” son muy distintas de la “ganancia”, y están en inmediata relación con la situación personal del jugador.
Josep M. Albaigès, noviembre 2002