ESTUDIO DE LA MARTINGALA Y DE LA MARTINGALITA
Introducción
según el cálculo de probabilidades
Llamamos esperanza matemática S de un premio a la
cuantía de éste Z multiplicada por la probabilidad de alcanzarlo p, o sea S = pZ. La esperanza matemática representa la fracción del
premio que por término medio se gana
cada vez que se participa en el juego.
En todo juego de azar
equilibrado (sin ventajas para nadie), las esperanzas matemáticas de los
jugadores (incluida la banca) deben ser iguales a las respectivas puestas. La
razón de esta ley es obvia: por término medio, el jugador ganará una fracción
de veces igual a p, y perderá las restantes. Si la apuesta en cada una era A, a
cambio de este valor que se entrega se adquiere, por término medio, la
ganancia, S. Luego A = S = pZ.
En los juegos con banca
organizada, la condición anterior no se cumple nunca. La esperanza es inferior
a la apuesta para el jugador, S < A, y superior para la banca, Sb > Ab. Por tanto, en cada
jugada, la ganancia media del jugador es S - A < 0, o sea pérdida.
Un caso típico es la ruleta.
Jugando a un solo número, el premio son 36 veces la puesta. Pero, puesto que
entre los posibles resultados existe el cero, la probabilidad del jugador es p
= 1/37. La esperanza matemática es S = 36A/37 =
0,973A. El cociente S/A representa, pues, el “retorno medio” de la
apuesta unidad.
Otros juegos son mucho más
desequilibrados que la ruleta. En las carreras de galgos, S/A = 0,80, puesto
que se reparte en premios el 80 % de la recaudación. En las quinielas y en la
lotería nacional, S/A = 0,55. Y en muchas rifas este cociente alcanza unos
valores tan bajos que ningún jugador mínimamente avisado debiera participar
jamás en ellas.
La
martingala
La llamada “martingala”,
supuesta fórmula para ganar siempre en los juegos de azar, consiste en ir
aumentando la apuesta según un ritmo dado en caso de pérdida para compensar,
con la futura ganancia, las cantidades perdidas hasta el momento. En una
palabra, en ir aumentando la cantidad que
arriesgamos.
Fijemos las ideas con un
ejemplo. Sea el juego de azar más sencillo, a cara o cruz. Apostemos 1 € a la
Cara. Si sale, hemos ganado 1 €. Si no, apostaremos 2 €. Perdemos otra vez: muy
bien, no importa, apostemos 4 €. Y si ciertamente estamos de mala suerte y
volvemos a perder, apostemos 8 €. Esta vez la suerte nos es favorable y sale C.
Ganamos 8 €. Como en las cuatro jugadas anteriores habíamos perdido 1 + 2 + 4 =
7 €, todavía ganamos 1 €.
Es decir: considerando
dividido el juego en “rachas” terminadas por C, en cada “racha” ganamos 1 €.
Por ejemplo, sea la sucesión: C++C+C+CC+++CC+C+C+C+C+++CC+CC+C C+CCC+C. Si la
escribimos así: (C)(++C)(+C)(+C)(C)(+++C)(C)(+C)(+C)(+C)(+C)(+++C)
(C)(+C)(C)(+C)(C)(+C)(C)(C)(+C), fácilmente vemos que se ganan 21 €, uno por
cada paréntesis.
Si este sistema es tan
infalible, ¿cómo no se arruinan los casinos? En realidad, si nos presentamos en
uno de ellos y jugamos según esta técnica, seremos tan bienvenidos como los
restantes “incautos” clientes. ¿Por dónde falla la martingala?
Lo que ocurre es que
nosotros jugamos con una banca limitada B, siempre inferior a la del casino.
Si, para simplificar, convenimos en que B = 2N, eso es tanto como
decir que podemos resistir una “racha” negativa de longitud máxima N. Si v. gr.
nuestra banca son 1024 €, una racha de 10 + seguidas nos produciría una pérdida
igual a esta cantidad, y ya no podríamos apostar en la siguiente tirada.
Ciertamente, la probabilidad
de que se presente esta racha es pequeña. Precisamente vale p = 1/2N,
es decir, que por término medio sólo se presentará una vez de cada 2N.
Pero observemos un hecho interesante: nuestra ganancia en cada “racha” ha sido
1 €. La vez en que se presenta la “racha
fatídica” perdemos de un golpe todo lo atesorado pacientemente a lo largo de
las rachas anteriores. Los 1024 € se esfumarán en un momento, destruyendo el
trabajo de horas y horas.
En realidad, un teorema de
alcance más general afirma que en cualquier juego de azar equilibrado, a la larga gana siempre el
jugador que posee la mayor banca, o, mejor dicho, tiene una probabilidad mayor
de arruinar al contrario (¡puede resistir rachas más largas!). Y si esto ocurre
con los juegos equilibrados, ¿qué no será con la ruleta, que no lo es? En
efecto, la existencia en ella del cero hace que la probabilidad de ganar en una
apuesta a “rojo” o “negro” por ejemplo, no sea p = 0,50, sino p = 18/37 =
0,4865. Esta pequeña diferencia a favor del casino contribuirá a arruinarnos
más rápidamente[1].
Para ilustrar mejor lo
dicho, hemos efectuado con el ordenador un simulacro de partidas contra el
“Casino Informático” (prueba de Monte-Carlo). Vamos a
ver los resultados, en los siguientes supuestos:
· Llamaremos
“noche” a una sesión seguida de apuestas en el casino.
· En cada noche
empezamos con una banca de 1000 €.
· Jugamos 1 € a
Rojo, manteniendo fijo el valor si ganamos. Cada vez que perdemos doblamos la
apuesta (salvo si nuestra banca en ese momento no alcanza, entonces apostamos
el resto).
Realizaremos el estudio para
un número variable de “rachas” cada noche, llamando “racha” a una serie (que
puede ser nula) de negros coronada por un rojo. Nuestras ganancias/pérdidas
dependerán, a igualdad de los restantes factores, del número de “rachas” que
juguemos por noche.
|
NO. DE RACHAS POR NOCHE |
NOCHES CON PÉRDIDA |
NOCHES CON RUINA |
|
100 200 500 1000 2000 5000 |
6,1 % 9,8 % 21,1 % 40,2 % 49,3 % 64,5 % |
3,5 % 7,4 % 15,4 % 27,5 % 47,3 % 64,4 % |
Es decir, que, por ejemplo,
si jugamos 500 rachas por noche, en un 21,1 % de ellas acabaremos con pérdida.
En ellas están comprendidas el 15,4 % del total en que nos arruinaremos
totalmente.
Observemos que la técnica de
la martingala, si es jugada unas pocas veces, casi nos garantiza una pequeña
ganancia, pero a costa de exponer muy poco todo
nuestro capital. La jugada sería comparable a apostar nuestra vivienda, que
vale 100.000 €, contra 10 € en un juego en el que nuestra probabilidad de ganar
es p = 0,9999. Si jugamos unas pocas veces, podemos estar prácticamente seguros
de ganar unos euros, pero no dejaremos de haber expuesto toda nuestra vivienda.
Más juegos similares: podemos imaginar que practicamos parapente (una pequeña
probabilidad de perder nuestra vida contra el disfrute del deporte), etc. ¿Sale
a cuenta? Cada cual debe decidir para sí.
En realidad, la martingala
podría extenderse a juegos equilibrados con probabilidad distinta de ½. Por
ejemplo, para el juego de dados, en que p = 1/6, podríamos multiplicar la
puesta, en caso de pérdida, por un factor k, que deberíamos calcular en función
del número de jugadas en que recuperaríamos las pérdidas. El cálculo en este
caso bastante más complejo.
La
Martingalita
Prontamente reconocida la
peligrosidad de la martingala, el ingenio de los jugadores se ha centrado en
disminuir el ritmo de crecimiento de las apuestas en caso de pérdida para no
exponer tan fuertemente toda nuestra banca a la ruina. Naturalmente, esto se
consigue a costa de alargar el “tiempo de recuperación”. En todo caso, las
leyes de probabilidades se mantienen férreamente, y el resultado, a la larga,
es perder.
Una versión atenuada de la
martingala, a la que llamaremos la martingalita,
consiste en la siguiente estrategia de apuestas:
Elegimos una serie de números consecutivos y apostamos una cantidad igual a la suma del primero y el último.
·
Si ganamos, tachamos esos números y apostamos otra
vez la suma del último y el primero.
·
Si perdemos, no tachamos ninguno, sino que añadimos
el siguiente de la serie que quede y seguimos apostando la suma del primero y
el último.
Veamos un ejemplo:
|
SERIE |
RESUL- TADO (G/P) |
APUESTA |
CAPITAL REMANENTE |
|
1-2-3-4-5-6-7-8 2-3-4-5-6-7 2-3-4-5-6-7-8 2-3-4-5-6-7-8-9 3-4-5-6-7-8 4-5-6-7 4-5-6-7-8 4-5-6-7-8-9 5-6-7-8 5-6-7-8-9 |
G P P G G P P G P G |
9 -9 -10 11 11 -11 -12 13 -13 14 |
9 0 -10 1 12 1 -11 2 -11 3 |
Más sencillamente: apostamos
la cantidad k, y la mantenemos mientras ganamos. En cuanto perdemos, a la
siguiente apuesta apostamos k+1. La progresión no es tan rápida, conque no
somos tan vulnerables a una racha negativa, pero el proceso de ganancia es muy
lento.
Veamos otro ejemplo de
simulación mediante el método de Monte-Carlo. En este
caso la apuesta inicial es 1 €, y se aumenta 0,2 € cada vez que se pierde.
|
NO. DE RACHAS POR NOCHE |
NOCHES CON PÉRDIDA |
NOCHES CON RUINA |
|
100 200 500 1000 |
47,1 % 51,0 % 48,8 % 64,2 % |
0,0 % 0,0 % 13,7 % 57,7 % |
Puede verse que el riesgo de
ruina total es más reducido, pero en cambio aumenta el de pérdida a lo largo de
la noche.
Existen numerosas variantes
de la martingalita, siempre basadas en reducir el ritmo de aumento de apuestas
en caso de pérdida. Por ejemplo, multiplicando la puesta por 1,5 o un factor k
menor que 2. En todos los casos el resultado es el mismo: a la larga, se pierde siempre, pues el jugador se enfrenta con una
banca infinita.
Josep
M. Albaigès
Barcelona,
dic 98
[1] En algunos casinos, en las puestas a “rojo o negro”, “par o impar” y “pasa o falta” no se computa el resultado cero. Con ello el juego para éstas es equilibrado.