UN ASPECTO DE LA TEORÍA DE LA DECISIÓN:

LA ESPERANZA MATEMÁTICA SUBJETIVA

En los manuales clásicos los problemas de comparación entre alternativas de probabilidad distinta se resuelven a través de la determinación de la esperanza matemática: importe de un premio multiplicado por la probabilidad de alcanzar éste, E = pM, siendo M la masa del premio. En términos más familiares, la esperanza matemática representa la ganancia media al cabo de muchos intentos de conseguir el premio.

Por tanto, la decisión sobre las distintas alternativas a elegir se tomará sobre la base de la comparación de las esperanzas matemáticas vinculadas a dichas decisiones.

Sin embargo, aquí vamos a ocuparnos de un aspecto poco estudiado: la decisión cuando el número de ensayos es reducido, o incluso uno solo. Es bien sabido que, muy especialmente en este caso, no juegan solamente los factores matemáticos, sino también otros subjetivos imposibles de cuantificar.

Empecemos con un ejemplo sencillo. Desde el punto de vista estadístico, es lo mismo ganar con toda seguridad 50.000 de € que tener la probabilidad del 50 % de un premio de 100.000 de €. Sin embargo, es claro que muchas personas, probablemente la mayoría, preferirían la primera alternativa.

Podríamos preguntarnos por la cantidad “segura” que dejaría indiferente a un jugador que pudiera elegir entre ella y la probabilidad del 50 % de las 100.000 €, y obtendríamos resultados variables individualmente y según el medio social. A título de ejemplo, efectuadas algunas encuestas entre personas de la clase media, se han obtenido, con amplias dispersiones, valores del orden de los 25.000 €.

Este “afán por lo seguro” se modera cuando el jugador ve la consecución de los 100.000 € como bastante probables. Por ejemplo, para una probabilidad del 90 %, se hace preciso ofertar cantidades “seguras” del orden de las 80.000 €.

Pero ocurre lo contrario cuando el individuo es enfrentado al premio con probabilidades pequeñas. De hecho, muchas personas podrían preferir la probabilidad de un 1 ‰ de obtener 100.000 € a 100 € seguros. El hecho frecuente de participar en una lotería cuya esperanza matemática es inferior al coste de participación demuestra que una esperanza matemática pequeña es preferida a su cantidad equivalente.

Vemos, pues, que el individuo “irracional” se inclina por lo seguro con una tendencia variable según la probabilidad del premio.

Pero, para complicar más el caso, estas “tendencias a lo seguro” variarían también con el importe absoluto del premio. Pues si en vez de comparar 50.000 € con el 50 % de 100.000 € comparáramos 5 € y el 50 % de 10 €, la mayoría de la gente se mostraría indiferente entre ambas alternativas. Es inmediato sospechar que las cuantías involucradas tienen relación con la familiaridad con los importes respectivos para el jugador.

Vamos a definir el concepto de “esperanza matemática subjetiva” (E_ms) como el importe “seguro” que se equilibra con una probabilidad dada en las preferencias de un individuo. Análogamente podemos definir la “probabilidad subjetiva” (p_s) como el cociente entre la E_ms y el premio:

La gráfica de p_s en función de p tiene un aspecto similar al siguiente para M = 100.000 €:

¿Qué ocurrirá para cuantías inferiores o superiores a 100.000 €? Para cuantías superiores, los valores de p_i tienden a disminuir en la zona central de la curva, pero aumentan para los valores pequeños de p. En efecto, en cuanto a las primeras, la gente tenderá a preferir, por ejemplo, 100.000 € seguros a una probabilidad del 50 % de 100.000 €, pero en cambio podrá preferir el 1 ‰ de 1 M€ a 1.000 €, que sería su equivalente probabilístico. Y en cuanto a las segundas, tenderán a confundirse la ganancia segura y la probable: resultará indiferente, por ejemplo, 50 € o el 50 % de 100 €.

Podemos recoger esta variación en estos gráficos:

Esta “vacilación subjetiva” es ampliamente aprovechada en algunos concursos televisivos en los que continuamente se hace escoger a los concursantes entre una cantidad segura y la posibilidad de un premio mucho mayor. Las dudas y ansiedad que esta tesitura provoca a los participantes constituyen, por lo visto, el aliciente más apreciado por los sádicos espectadores.

JMAiO, jun 00