¿DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS AL 99 %?

¿Es posible que una demostración matemática no sea “completa” sino sólo “probable”? Recientemente el matemático Thomas Hale ha demostrado “al 99 %”, según la prestigiosa revista Annals of Mathematics, la venerable “Conjetura de Kepler”, que suponía que la forma más compacta de apilar esferas es como han hecho toda la vida los artilleros y vendedores de sandías: disponiéndolas en pisos horizontales compactos y encajando las nuevas sandías en el pequeño hueco que queda entre tres. De esta forma, pueden ser colocadas “en pirámide” o al “tresbolillo”, pero la densidad alcanzada es siempre la misma. En la foto, vemos al orondo Hale seguro de que las balas de cañón sobre las que se sienta no pueden estar ya más juntas. Podemos ver sus razonamientos en www.math.pitt.edu/~thales/flyspeck/index.html.

Lo más chocante es ese 99 %. ¿De donde procede? Pues del hecho de que los árbitros de la demostración se vieron incapaces de comprobar los 3 gigabytes de sus códigos e hicieron un chequeo de consistencia, reconstruyendo los procesos teóricos subyacentes en cada paso de la prueba, ni más ni menos que cuando el tribunal de oposiciones pregunta sólo dos o tres temas de los 100 de que consta el temario.

De hecho, este nuevo tipo de “indetermina-ciones” empezaron a verse cuando en 1976 se demostró la “Conjetura de los 4 colores” mediante un programa de ordenador que estudiaba los varios miles de subcasos en que había sido descompuesto el problema: las vidas de todos los matemáticos del mundo no basarían para chequear ésta a mano, y por ello algunos manifestaron sus reservas sobre la validez de este tipo de “demostración”.

Tengo mis reservas sobre estas reservas. Por poner un ejemplo, ¿acaso muchos problemas no se resuelven mediante multiplicaciones, que en definitiva son un método más rápido de hacer sumas? La evidencia “primitiva” sólo se alcanzaría haciendo éstas, pero el algoritmo multiplicativo incluye unas nuevas “evidencias”, que similarmente quedan ampliadas con las que aporta el ordenador.

De hecho, buena parte de las nuevas demostraciones matemáticas se asientan sobre el cálculo de probabilidades. En otro artículo hemos comentado la importancia que hoy tiene la determinación informatizada de la primalidad de un número p, que se determina por ordenador sin necesidad de acudir al clásico pero rupestre método de irlo dividiendo por todos los primos menores que él hasta Öp.

El método está basado en el “pequeño teorema de Fermat”: dado un número primo p, se cumple siempre para una base a prima con p-1 que a^{p – 1} º 1 (mod p). Por tanto, podría en principio chequearse la primalidad de un número sin necesidad de proceder a las tediosas multiplicaciones: bastaría con hallar la congruencia respecto a p de una base a dada elevada a este número.

Aclaremos que no se hace preciso proceder al cálculo de la potencia, sino sólo a su congruencia, lo que es mucho más fácil. Pues estamos trabajando con congruencias, es decir, con números cuyos restos de sus divisiones por p son iguales. Así, por ejemplo, 1 º 7 º 31 º 97 (mod 6), pues todos estos números, divididos por 6, dan el mismo resto, 1. Las congruencias cumplen las propiedades habituales respecto a la suma y la multiplicación. Por ejemplo, ya que 4 º 7 (mod 11), será 4´5 º 7´5 º 35 º 2 (mod 11).

Supongamos que se desea chequear la primalidad de 17. Escogeremos una base, por ejemplo 5, y procederemos así:

5² º 25 º 8 (mod 17) (8 es el resto de la división 25/17)

5⁴ º (5²)² º 8² º 64 º 13 (mod 17) (13 es el resto de la división 64/17)

5⁸ º (5⁴)² º13² º 169 º 16 (mod 17) (etc.)

5¹⁶ º (5⁸)² º 16² º 256 º 1 (mod 17) (etc.)

De donde concluimos que 17 es primo, pues acabamos de ver que 5¹⁶ º 1 (mod 17).

Pero… hay un pero. Resulta que algunos números compuestos, llamados pseudoprimos, cumplen que a^p–1 = 1 (mod p) en alguna base a, con lo que la prueba puede ser engañosa. Esos números abundan muy poco, pero haberlos, haylos.

Bueno, eso parece tener una fácil solución: probar con más bases a’. Pero, ¡ay!, otro tipo fastidiosísimo de números, llamados de Carmichael, resulta que son pseudoprimos en cualquier base. Como nos tropecemos con ellos, estamos listos.

Un providencial teorema establece que, para determinados valores u, como máximo será engañosa la prueba con u/2 números. Por tanto, si efectuamos la prueba con éxito un número de veces u/2+1, tendremos la seguridad finalmente de que el número p ensayado es primo.

Eso es un consuelo relativo. ¿Cómo hacer la prueba si u es un número de cien cifras por ejemplo? Eso sería más pesado todavía que hacer las divisiones. ¿Cuál es la solución? Muy sencillo: hacer la prueba respecto a 50 bases a” por ejemplo, elegidas al azar. Como la probabilidad de que todas las pruebas sean “fallantes” es 2^-50, podemos estar prácticamente seguros de que la prueba resulta. ¡Pero no matemáticamente!

Entendámonos: una prueba a ese nivel de probabilidad es absoluta a escala humana, pero no a escala matemática: no nos permite el nivel de certeza. De hecho, la probabilidad de que la prueba del teorema de Pitágoras sea falsa por otras causas (error, espejismo de toda la Humanidad) es mayor, pero las cosas son así.

Sobre estas pruebas descansa la seguridad de todos los mensajes cifrados que se mandan hoy. Habrá que ir acostumbrándose a la “casi” seguridad, incluso en matemáticas.

JMAiO, sep 03