PROBLEMA MEDELIANO

Kira Jaén nos propone un interesante problema:

Supongamos que se desea cultivar un cierto tipo de planta. Partiendo inicialmente de tres variadades medelianas, a las que llamamos AA, Aa y aa, nuestro objetivo es que todas las plantas sean finalmente del tipo AA o aa. Las sometemos a una continua autofertilización, en la que se cumplen las siguientes leyes:

· Plantas del tipo AA producen sólo plantas AA

· Ídem para las aa

· Las plantas Aa producen ¼ de AA, ¼ de aa y ½ de Aa.

Sean (a_o,b_o,c_o) las proporciones iniciales de plantas de los tipos AA, Aa y aa respectivamente. ¿Cuáles serán las proporciones en la n-sima generación?

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE KIRA

Aunque no se dice en el enunciado, supondremos que cada tipo de planta se reproduce sin aumentar su número de ejemplares en cada generación, es decir, que su tasa de crecimiento es cero (este factor tiene bastante importancia, como veremos).

Las proporciones a₁, b₁, c₁ estarán sujetas a la ley:

a₁ = a_o + b_o/4

b₁ = b_o/2

c₁ = b_o/4 + c_o

Que podemos escribir matricialmente así:

Las sucesivas generaciones se obtendrán reiterando el producto matricial, de manera que vendrán expresadas por las respectivas filas de la matriz Mn.

Fácil es ver que la potencia n-sima de la matriz tiende a:

Lo que equivale a decir que, a la larga, los objetivos perseguidos se alcanzarán solos: la especie Aa desaparecerá, y sus miembros habrán pasado a engrosar las proporciones de la AA y la aa.

Sin embargo, podemos introducir en el problema una variación para hacerlo más emocionante. ¿Qué ocurriría si las tasas de reproducción fueran distintas de cero? Entonces las proporciones variarían no solamente por el “efecto Mendel” sino también por la mayor o menor “fuerza demográfica” de cada especie. La fórmula sería ahora:

Examinando el comportamiento de las potencias de esa matriz, se observa que si la especie B tiene una tasa de reproducción del 300 % en cada generación (k_Aa = 3) se compensan los efectos antes citados, y las proporciones de las tres especies permanecen constantes. Para valores mayores (o menores de las especies AA y aa), la variación es todavía más rápida.

Observemos que esto no es más que la traducción matemática de la ley de la adaptación al medio: si la especie Aa se adapta mejor al medio que las originarias AA y aa, esto se traducirá en una mayor tasa de reproducción, lo que podrá compensar la ventaja inicial de aquéllas y aun eliminarlas.

De todos modos, lo contrario será lo más frecuente: la especie Aa desaparecerá en pocas generaciones. No olvidemos que la inmensa mayoría de las mutaciones o cruces anómalos que la naturaleza produce se autoeliminan al revelarse menos eficaces en su capacidad de adaptación al medio.

JMAiO, dic 96